导语
许多复杂系统的组成部分具有非平凡的连接模式和动力学过程，可以用网络模型很好地捕捉。然而，大多数系统之间通过相互依赖相互耦合——表现为异质单元之间的关系，或者通过多层关系（multiplexity）相互耦合——表现为同质单元之间不同种类关系的共存。多层网络提供了捕捉系统复杂性的框架，使得能够从整体角度分析生物物理、社会和人造网络。
近日意大利物理学家和复杂系统科学家 Manlio De Domenic 于 Nature Physics 发表综述文章，题为“More is different in real-world multilayer networks”，回顾了该领域过去十年最重要的理论发展，展示了多层网络的分层结构导致无法从孤立子系统分析或其聚合中观察到一些现象，包括增强扩散、涌现的介观尺度组织和相变。文章讨论了跨越多个空间尺度的应用，从细胞到人类大脑，再到生态和社会系统，并提供了关于未来研究方向的展望和挑战。
研究领域：复杂系统，多层网络，临界相变，网络渗流，同步
论文题目： More is different in real-world multilayer networks 论文地址： nature.com/articles/s41567-023-02132-1 Manlio De Domenico ，物理学家和复杂系统科学家，意大利帕多瓦大学物理学教授，网络药物学中心主任，地中海复杂网络学校主任。学者主页：https://manliodedomenico.com/De Domenico 有一个名为“Complexity Thoughts”的博客，介绍关于复杂系统的最新思考：https://manlius.substack.com/，我们会在之后陆续介绍给大家 😊 目录 1. 为何需要多层网络 2. 多层网络的结构 3. 多层网络建模的挑战 4. 多层网络的研究方向 5. 多层网络的应用与展望
真实世界中包含众多由耦合或相互作用的子系统组成的系统。例如，对于许多基础设施网络，其中一个系统中的节点 （例如通信网络中的工作站） 依赖于另一个系统中的节点 （例如电网中的电站） 的运行，此时对通讯网络的建模就需要考虑输电网络，如此方可考察由于相互依存带来的脆弱性。 此外，真实世界中系统通常不是孤立存在的，而是一个更复杂的网络的一部分，彼此之间存在相互作用。例如相同的蛋白质可以在物理上通过激活或抑制关系与其他蛋白质相互作用，建立独特和非冗余的连接模式；神经元间的连接可以是突触的、基于间隙连接和基于神经调节器的，通过多种模式交换电化学信息的神经元，定义了在同一组节点之间不同层的多层网络特征。上述情况，都只能通过多层网络建模以加以研究。 多层网络 （multilayer network，又称网络的网络 Network of network, NoN） 中，同一节点可以存在于一个或多个层中。其中状态节点 （state node） 是针对特定层的节点，而物理节点 （physical node） 则是无论哪一层的节点。同一物理节点的状态节点通常被称为副本 （replica） 。状态节点通过层内 （在同一层内） 或层间 （跨不同层） 的边相互作用，这些边可以是有向的或无向的。 非相互连接的多层网络 （non-interconnected multiplexes，图1左） 中，状态节点不通过不同层之间的边相互连接。在这类系统中，跨越层级的信息可以实时且无成本地从一个状态节点传递到其副本。图1最右边为非相互连接的网络，例如每一层代表不同的社交网络平台，其中的节点代表同时使用三个平台的用户，用户会在瞬间进行信息沟通，例如在平台A获得了某一消息，实时影响其在其它平台的行为。其中绿色的层代表节点状态，黄色与红色的层代表不同网络对应的物理实体，图中的物理连接表示标出的节点为同一物理实体。 相互连接的多层网络 中 （图1中） ，状态节点通过不同层之间的边相互连接，编码了在副本之间交换信息的成本。这里至少有两类多层网络：（1）互连的多层网络 （interconnected multiplexes） ，其中各层的节点是同质的 （例如，所有节点都是电站） ，以及（2）相互依赖的网络 （interdependent network） ，其中各层的节点是异质的 （例如，一层的节点是电站，另一层的节点是自治系统等） 。 对于不同层的节点是异质的情况，例如图1中间为相互连接的网络，标黄的层中的节点是供电站，标红的为通讯基站。如层间的边代表离散信息，则为无向边；如为时序的，则可通过有向边，将不同时间点的网络当作不同层，此方法可用于研究疾病或信息传播过程，推导引起传播爆发的临界密度。如层间存在相互作用，则可使用双向连边。 一般的多层网络如采取经典网络的分析方法，会丢失结构信息和互连的多路复用网络信息。由此，需要构建一个形式化的数学框架，以处理多层网络引入的复杂性。可能的尝试包括使用超矩阵 （hypermatrics） 及张量 （tensor） 。 其次，需要构建多层拓扑分析的方法，例如，衡量多层网络中节点中心性或介观尺度下的组织和动力学，例如，系统中的信息扩散或临界现象、内部故障的同步，以及面对外部扰动的鲁棒性。已有严格证明指出，不能通过合并在每一层单独计算的中心性或使用在单层网络中计算的中心性来度量多层网络的中心性。 Battiston, F., Nicosia, V. & Latora, V. Structural measures for multiplex networks. Phys. Rev. E 89, 032804 (2014). 关于在什么条件下适合使用多层网络模型，即人们应该在什么时候将一个系统建模为 多层网络，而不是一组互不相干的网络，或者将所有节点看成同一个网络。合理的判据是当层间耦合不强时，此时整个系统的特性可以从每一层隔离的特性线性组合中获得，也可以从其他一些特性的聚合中获得。 Battiston, F., Nicosia, V. & Latora, V. The new challenges of multiplex networks: measures and models. Eur. Phys. J. Special Topics 226, 401–416 (2017). 同步、渗流是网络动力学 （dynimics） 的研究热点。多层网络间存在相互关联的同步现象，如图2所示，默认神经网络 （图2a-c） 、腹侧部神经元 （图2d-f） 以及视觉神经元 （图2g-i） 组成的网络，都存在相似的双稳定点 （bistable） 同步现象，这些处于不同位置的神经元网络可以看成是多层网络。上述连续的多层网络中，其中一层的同步现象促成了相邻网络的神经元爆发式同步。 当多层网络间存在耦合时，网络动力学同样呈现双稳态。如图 3j 展示的 Kuramoto 动力学，其中节点为振子，多层网络的动力学取决于不同层节点的耦合程度及偏差。图 3k 展示了网络渗流模型在网络信息、疾病传播现象上的应用。通过多层网络可以研究两种病原同时传播，一种病原的传播动力学影响另一种病原的真实情况；或研究社交媒体上信息传播 （图k中的颜色） 取决于两个因素：个体是否愿意接受信息，是否愿意传播信息 （分别用各自的一层网络建模） ，且上述行为存在相关性。 Nicosia, V., Bianconi, G., Latora, V. & Barthelemy, M. Nonlinear growth and condensation in multiplex networks. Phys. Rev. E 90, 042807 (2014).
Gray, C. et al. Ecological plasticity governs ecosystem services in multilayer networks. Commun. Biol. 4, 75 (2021). Santoro, A., Latora, V., Nicosia, G. & Nicosia, V. Pareto optimality in multilayer network growth. Phys. Rev. Lett. 121, 128302 (2018).
更值得关注的多层网络上的博弈与合作。当合作收益增加时，不同网络中合作者的比例增加，存在相变点，即是否存在合作行为，取决于不同层间的耦合系数 （图3l） 。 将多层网络与时序信息结合，可分析相互关联的系统上的节点如何相互影响，导致网络失效。图4a-c代表了不同时刻意大利的输电网及互联网中失效节点的扩散，d-f描述由于单节点失效，传播后导致更多节点逐渐失效的过程。与单层神经网络中当失效的节点数大于阈值时整个网络会失效不同，多层网络中由于节点间的跨层连接，会出现二阶相变或呈现连续变化，这使得网络恢复、攻击策略变得更为复杂，多重网络中存在跨连接的三重点 （triple points） 将成为网络修复策略中的关键。 图5h展示了线虫连接组中神经元由于电信号、化学信号以及多重连接三种连接方式组成的网络，图i对上述多层网络进行了另一种可视化，连边的颜色代表不同类别。图j代表了三种网络渗流的临界阈值，三种网络中存在数个高度连接的节点，可以使信号爆炸式地传遍众多神经元 （图5k） 。 Gray, C. et al. Ecological plasticity governs ecosystem services in multilayer networks. Commun. Biol. 4, 75 (2021). 多层网络的研究方向还可聚焦于网络的介观结构，不同于关注网络宏观特征 （例如相变、爆炸式扩散） 或微观指标 （如单个节点的中心度） ，介观结构考察多层网络中的模体 （motif） 、模块 （modules） 或聚类情况，或对网络进行粗粒化 （如图6） 。 图6. 使用多层网络的表征，一个复杂系统可以有冗余的层，新增的层不添加拓扑或功能信息，通过连通性相似度聚类，基于冯·诺伊曼熵等方式，可将多层网络粗粒化
网络按照运作的空间尺度排列，从典型细胞 （约10μm） 内的生物分子，到个体所在的 城市 （约10公里） ，有很多场景可应用多层网络建模。在细胞空间尺度上生物分子网络的研究，之前是基于单一的检测方法，之后可以通过多组学方式，构建多层网络加以研究 （图7） 。 图7. 生物化学领域之前的研究方式基于基因组找差异，未来多组学研究可整合多个来源的信息，相互验证，以厘清生物化学的复杂性
在细胞间相互作用的尺度上，神经元在神经元系统中的活动，多层网络使我们能够整合以前被忽视或聚合的信息类型。在生物体之间相互作用的尺度上，多层网络可以用来绘制高维和异质的关系，从不同的栖息地到不同类型的互动，推进动物或人类行为研究。 例如在研究疾病传播时，不仅考虑人与人的流动，也考虑通讯信息对疾病传播的影响，从而进行更精准的建模。如图8a所示，分别为人员移动网络和通信网络，在此之上存在第三种动力学，即疾病传播网络。图8b按照聚集方式展示了学校、社区、家庭、工作场所的人员流动，通过分开处理，可以考察人员聚集的年龄特征 （图8c） 。 Calhoun, V. D., Miller, R., Pearlson, G. & Adalı, T. The chronnectome: time-varying connectivity networks as the next frontier in fMRI data discovery. Neuron 84, 262–274 (2014).
Valdano, E., Ferreri, L., Poletto, C. & Colizza, V. Analytical computation of the epidemic threshold on temporal networks. Phys. Rev. X 5, 021005 (2015).
随着对现实世界探索的不断深入，人们发现在许多真实的复杂系统中，组成系统的个体之间不仅存在二元交互关系，也广泛存在多个体同时（或以特定顺序）进行交互，即高阶交互现象。为此，研究人员分别发展出了基于超图、单纯复形、依赖关系等的网络高阶表示模型，为复杂网络分析和研究提供了新的思路。 由电子科技大学吕琳媛老师、任晓龙老师及中国地质大学（北京）管青老师在集智俱乐部联合发起了【高阶网络读书会 】。读书会围绕高阶交互网络的基本概念、模型、方法与应用等研究进行研讨，按照「基础理论」+「深入理论」+「案例研讨」的模式展开。读书会第一季已经圆满结束，第二季正在筹备中。现在报名加入可以解锁第一季全部录播视频并加入社群交流。
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